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Flashcards - Campo Eléctrico II: Distribuciones Continuas de Carga

Flashcards - Campo Eléctrico II

Distribuciones Continuas de Carga

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1 ★

¿Qué son las distribuciones continuas de carga y cómo se representan matemáticamente?

1 ★

Son modelos que describen sistemas con muchas cargas discretas tan próximas que pueden considerarse distribuidas continuamente. Se representan mediante densidades:

  • Volumétrica \( \rho \)
  • Superficial \( \sigma \)
  • Lineal \( \lambda \)
2 ★

¿Cómo se calcula el campo eléctrico para una distribución continua de carga usando la ley de Coulomb?

2 ★

Se integra la contribución de cada elemento de carga:

\[ \vec{E} = \int \frac{k\hat{r}}{r^2} dq \]

donde \( dq = \rho dV \), \( \sigma dA \) o \( \lambda dl \) según el tipo de distribución.

3 ★

¿Cuál es el campo eléctrico debido a una línea finita cargada en un punto fuera del eje?

3 ★

Para una línea de longitud L con densidad \( \lambda \), el campo tiene componentes:

\[ E_x = \frac{k\lambda}{y_p}(\sin\theta_2 - \sin\theta_1) \]
\[ E_y = -\frac{k\lambda}{y_p}(\cos\theta_2 - \cos\theta_1) \]
4 ★

¿Cuál es el campo eléctrico debido a una línea infinita uniformemente cargada?

4 ★
\[ \vec{E} = \frac{2k\lambda}{R} \hat{R} \]

donde \( \lambda \) es la densidad lineal, R la distancia radial y \( \hat{R} \) el vector unitario radial. En términos de \( \epsilon_0 \):

\[ \vec{E} = \frac{1}{2\pi\epsilon_0} \frac{\lambda}{R} \hat{R} \]
5 ★

¿Cuál es el campo eléctrico en el eje de un anillo uniformemente cargado?

5 ★
\[ \vec{E} = E_z \hat{k} \]

donde

\[ E_z = \frac{kQz}{(z^2 + a^2)^{3/2}} \]

Q es la carga total, a el radio del anillo y z la distancia al centro a lo largo del eje.

6 ★

¿Cuál es el campo eléctrico en el eje de un disco uniformemente cargado?

6 ★
\[ E_z = \text{sign}(z) \cdot 2\pi k\sigma \left(1 - \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{R^2}{z^2}}}\right) \]

donde \( \sigma \) es la densidad superficial, R el radio del disco y z la distancia al centro.

7 ★

¿Cuál es el campo eléctrico debido a un plano infinito uniformemente cargado?

7 ★
\[ \vec{E} = \text{sign}(z) \cdot 2\pi k\sigma \hat{k} = \text{sign}(z) \cdot \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \hat{k} \]

donde \( \sigma \) es la densidad superficial y z la coordenada perpendicular al plano.

8 ★

¿Qué establece la ley de Gauss y cómo se expresa matemáticamente?

8 ★

Establece que el flujo eléctrico neto a través de una superficie cerrada es igual a la carga neta encerrada dividida por \( \epsilon_0 \):

\[ \phi_{\text{neto}} = \oint_S \vec{E} \cdot \hat{n} dA = \frac{Q_{\text{interior}}}{\epsilon_0} \]
9 ★

¿Cómo se define el flujo eléctrico y cuáles son sus unidades?

9 ★

El flujo eléctrico se define como

\[ \phi = \int_S \vec{E} \cdot \hat{n} dA \]

Representa el número neto de líneas de campo que atraviesan una superficie. Sus unidades son N·m²/C.

10 ★

¿Qué tipos de simetría permiten usar la ley de Gauss para calcular campos eléctricos?

10 ★
  • Simetría esférica: carga depende sólo de la distancia a un punto
  • Simetría cilíndrica: carga depende sólo de la distancia a una línea
  • Simetría planar: carga depende sólo de la distancia a un plano
11 ★

¿Cuál es el campo eléctrico debido a una corteza esférica uniformemente cargada?

11 ★
\[ \vec{E} = E_r \hat{r} \]

donde

\[ E_r = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2} \quad \text{para } r > R \text{ (fuera)} \]
\[ E_r = 0 \quad \text{para } r < R \text{ (dentro)} \]

siendo R el radio de la corteza y Q su carga total.

12 ★

¿Cuál es el campo eléctrico de una esfera sólida uniformemente cargada?

12 ★
\[ \vec{E} = E_r \hat{r} \]

donde

\[ E_r = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2} \quad \text{para } r \geq R \text{ (fuera)} \]
\[ E_r = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R^3} r \quad \text{para } r \leq R \text{ (dentro)} \]

siendo R el radio y Q la carga total.

13 ★

¿Qué ocurre con la componente normal del campo eléctrico en una superficie cargada?

13 ★

La componente normal \( E_n \) es discontinua en una superficie con densidad de carga \( \sigma \):

\[ \Delta E_n = E_{n^+} - E_{n^-} = \frac{\sigma}{\epsilon_0} \]

donde \( n^+ \) y \( n^- \) son las normales a cada lado.

14 ★

¿Qué propiedades tienen los conductores en equilibrio electrostático?

14 ★
  • \( \vec{E} = 0 \) en el interior
  • Toda carga neta reside en la superficie
  • \( \vec{E} \) es perpendicular a la superficie justo fuera
  • El potencial es constante en todo el conductor
15 ★

¿Cuál es el campo eléctrico justo fuera de la superficie de un conductor?

15 ★
\[ \vec{E} = \frac{\sigma}{\epsilon_0} \hat{n} \]

donde \( \sigma \) es la densidad de carga superficial en ese punto y \( \hat{n} \) es el vector unitario normal hacia fuera del conductor.

16 ★

¿Qué es la permitividad del vacío (\( \epsilon_0 \)) y cómo se relaciona con la constante de Coulomb (k)?

16 ★

\( \epsilon_0 \) es una constante fundamental que relaciona unidades eléctricas. Se relaciona con k mediante:

\[ k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \]

Su valor es \( \epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \) C²/(N·m²).

17 ★

¿Son equivalentes la ley de Gauss y la ley de Coulomb en electrostática?

17 ★

Sí, son equivalentes para cargas estáticas. La ley de Gauss puede deducirse de la ley de Coulomb y viceversa. La ley de Gauss es más general y se aplica también a situaciones no estáticas.

18 ★

¿Qué ocurre si hay una carga en una cavidad dentro de un conductor?

18 ★

Se induce una carga igual y opuesta en la superficie interna de la cavidad. Si el conductor está aislado y descargado, aparece una carga igual en la superficie externa. El campo fuera no depende de la posición de la carga dentro de la cavidad.

19 ★

¿Cuál es el campo eléctrico debido a una lámina gruesa uniformemente cargada?

19 ★

Para una lámina de grosor 2a con densidad volumétrica \( \rho \):

\[ E_z = \frac{\rho a}{\epsilon_0} \quad \text{para } |z| \geq a \text{ (fuera)} \]
\[ E_z = \frac{\rho z}{\epsilon_0} \quad \text{para } |z| \leq a \text{ (dentro)} \]

donde z=0 es el plano central de simetría.

20 ★

¿Qué aproximaciones se pueden hacer para distribuciones de carga finitas?

20 ★
  • A grandes distancias: se comporta como carga puntual
  • Cerca de superficies extensas: se aproxima a plano infinito
  • Cerca de líneas largas: se aproxima a línea infinita

Estas aproximaciones simplifican los cálculos.

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